Funciones y Polinomios de Legendre

Desarrollando la fórmula de Rodriguez se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre

esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aperecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo.

La propiedad de Ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

(donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville

donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

Ejemplos de polinomios de Legendre

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

                           n                     

Los gráficos de estos polinomios (menores a n=5) se grafican abajo:

Figura 1

Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física como el Cálculo Numérico ya que permiten el cálculo de integrales definidas sin necesidad de resolver el integrando, tan sólo haciendo que los intervalos de integración vayan desde -1 a +1 (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.
Los polinomios de Legendre son útiles en la expansión de funciones como
 

donde r y r' son las longitudes de los vectores X y X' respectivamente y γ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r'. Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto x mientras la carga esta localizada en el punto x' . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.

Polinomios de Legendre están en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial   = ( ecuación de la der. ) en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones limite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde Z es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje Z, la solución del potencial podría ser;

 

Al y Bl están determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema.
donde se define η = a / r < 1 y x = cosθ. Esta expansión es usada para mejorar la expansión multipolo normal.
 
Polinomios de Legendre en expansión multipolo
 

                                                       Figura 2

Los polinomios de Legendre son también útiles en la expansión de funciones de la forma (esto es similar al caso anterior, escrito un poco diferente):
 

que aparece naturalmente en expansión multipolo. La parte izquierda de la ecuación es la función generadora de los polinomios de Legendre.

Como en el ejemplo, del potencial eléctrico Φ(r,θ) (en coordenadas esféricas) debido a una carga puntual localizada en el eje z en z = a (Fig. 2) varia como
 

Si el radio r del punto de observación P es más grande que a, el potencial puede expandirse en polinomios
de Legendre

donde se define η = a / r < 1 y x = cosθ. Esta expansión es usada para mejorar la expansión multipolo

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es más pequeño que a, el potencial puede aun ser expandido en los polinomios de Legendre como por encima, pero con a y r cambiados.

Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre


Los polinomios de Legendre son simétricos o antisimetricos, tal que


Desde que la ecuación diferencial y la propiedad ortogonal son escalarmente independientes, los polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero notese que la real norma no es la unidad) por ser escalar tal que
 

La derivada en un punto final esta dado por
 

Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia

                                                                    y
 

Útil para la integración de polinomios de Legendre es
 

Traslación de los polinomios de Legendre

                         La translación de Polinomios de Legendre

 están definidos como un intervalo unitario ortogonal [0,1]

 

Una expresión explicita para estos polinomios viene dado por
 

La analogía a la Fórmula de Rodríguez para la traslación de los polinomios es:
 

La primera traslación de los polinomios de Legendre es:
Nota: En la sig. tabla, el ? es un signo menos ( - ).
 

Polinomios de Legendre de orden fraccional

Los polinomios de Legendre de orden fraccional existen y siguen a la inserción de la derivada fraccional como definición al Cálculo Fraccional y a los factoriales no enteros (definidos por una función gamma) en una Fórmula de Rodríguez. Los exponentes, seguramente, tienen de exponentes fraccionarios que representan raíces.