Grupo Investigación de Matemáticas Aplicadas UFPS: Funciones de Bessel

El matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel, las cuales son conocidas como las funciones de Bessel:

x²d²y/dx² + xdy/dx + ( x² - α² )y=0 (1)

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:
• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

• Conducción del calor en objetos cilíndricos.

• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).

• Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden α son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: Jα

Las funciones de Bessel de primera especie y orden α son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no negativos α y divergen en el límite x-->0 para α negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de Jα(x) están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Jα(x) por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:

Γ(z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Para α no enteros, se necesitan expansiones en series de potencias más generales.

Estas funciones cumplen que:

• Si , α no Є Ζ ( los enteros ), entonces Jα(x) y J − α(x) son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.

• Si , α no Є Ζ, entonces J − α(x) no está definida en x = 0.

• Si , α = n Є Ζ, entonces se cumple: J − n(x) = ( − 1)nJn(x), por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las gráficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a 1√x (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x.

Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1,2.

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Funciones de Bessel de segunda especie: Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por Yα(x), son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0).

Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2.

A estas funciones Yα(x) también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por Nα(x). Para α; no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente fórmula:

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite sólo válido para α no enteros:

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos α no enteros, la definición de Yα(x) es redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando α es entero, Yα(x) es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que:

Ambas Jα(x) y Yα(x) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado por el eje real negativo. Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.

Propiedades de las funciones de Bessel ordinarias

Integrales de Bessel

Otra definición de las funciones de Bessel para valores enteros de n es la siguiente representación integral de la función de Bessel:

Esta fue la forma con la que Bessel definió a estas funciones y de esta definición obtuvo distintas propiedades de la función. Otra representación integral es la siguiente: