Funciones y Polinomios de Legendre

Desarrollando la fórmula de Rodriguez se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre

esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aperecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo.

La propiedad de Ortogonalidad

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

(donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville

donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

Ejemplos de polinomios de Legendre

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

                           n                     

Los gráficos de estos polinomios (menores a n=5) se grafican abajo:

Figura 1

Aplicaciones de los Polinomios de Legendre en Física

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física como el Cálculo Numérico ya que permiten el cálculo de integrales definidas sin necesidad de resolver el integrando, tan sólo haciendo que los intervalos de integración vayan desde -1 a +1 (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida.
Los polinomios de Legendre son útiles en la expansión de funciones como
 

donde r y r' son las longitudes de los vectores X y X' respectivamente y γ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r'. Esta expresión esta usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto x mientras la carga esta localizada en el punto x' . La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.

Polinomios de Legendre están en la solución de una Ecuación de Laplace de un potencial   = ( ecuación de la der. ) en una región del espacio de carga libre, usando el método de separación de variables, donde las condiciones limite tienen simetría axial (no depende del ángulo azimuthal). Donde Z es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje Z, la solución del potencial podría ser;

 

Al y Bl están determinados de acuerdo con las condiciones limite de cada problema.
donde se define η = a / r < 1 y x = cosθ. Esta expansión es usada para mejorar la expansión multipolo normal.
 
Polinomios de Legendre en expansión multipolo
 

                                                       Figura 2

Los polinomios de Legendre son también útiles en la expansión de funciones de la forma (esto es similar al caso anterior, escrito un poco diferente):
 

que aparece naturalmente en expansión multipolo. La parte izquierda de la ecuación es la función generadora de los polinomios de Legendre.

Como en el ejemplo, del potencial eléctrico Φ(r,θ) (en coordenadas esféricas) debido a una carga puntual localizada en el eje z en z = a (Fig. 2) varia como
 

Si el radio r del punto de observación P es más grande que a, el potencial puede expandirse en polinomios
de Legendre

donde se define η = a / r < 1 y x = cosθ. Esta expansión es usada para mejorar la expansión multipolo

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es más pequeño que a, el potencial puede aun ser expandido en los polinomios de Legendre como por encima, pero con a y r cambiados.

Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre


Los polinomios de Legendre son simétricos o antisimetricos, tal que


Desde que la ecuación diferencial y la propiedad ortogonal son escalarmente independientes, los polinomios de Legendre definidos son estandarizados (a veces llamados normalizados, pero notese que la real norma no es la unidad) por ser escalar tal que
 

La derivada en un punto final esta dado por
 

Los polinomios de Legendre pueden construirse usando las tres relaciones de recurrencia

                                                                    y
 

Útil para la integración de polinomios de Legendre es
 

Traslación de los polinomios de Legendre

                         La translación de Polinomios de Legendre

 están definidos como un intervalo unitario ortogonal [0,1]

 

Una expresión explicita para estos polinomios viene dado por
 

La analogía a la Fórmula de Rodríguez para la traslación de los polinomios es:
 

La primera traslación de los polinomios de Legendre es:
Nota: En la sig. tabla, el ? es un signo menos ( - ).
 

Polinomios de Legendre de orden fraccional

Los polinomios de Legendre de orden fraccional existen y siguen a la inserción de la derivada fraccional como definición al Cálculo Fraccional y a los factoriales no enteros (definidos por una función gamma) en una Fórmula de Rodríguez. Los exponentes, seguramente, tienen de exponentes fraccionarios que representan raíces.

Funciones de Bessel

El matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel, las cuales son conocidas como las funciones de Bessel:

  x²d²y/dx² + xdy/dx + ( x² - α² )y=0 (1)

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aplicaciones

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2), por ejemplo:
• Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.

• Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

• Conducción del calor en objetos cilíndricos.

• Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).

• Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Funciones de Bessel ordinarias

Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden α son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: Jα

Las funciones de Bessel de primera especie y orden α son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x = 0) para enteros no negativos α y divergen en el límite x-->0 para α negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de Jα(x) están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Para las soluciones de orden entero es posible definir la función Jα(x) por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:

Γ(z) es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Para α no enteros, se necesitan expansiones en series de potencias más generales.

Estas funciones cumplen que:

• Si , α no Є Ζ ( los enteros ), entonces Jα(x) y J − α(x) son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel.

• Si , α no Є Ζ, entonces J − α(x) no está definida en x = 0.

• Si , α = n Є Ζ, entonces se cumple: J − n(x) = ( − 1)nJn(x), por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las gráficas de las funciones de Bessel nos muestras son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a 1√x (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x.

Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1,2.

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Funciones de Bessel de segunda especie: Yα

Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por Yα(x), son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0).

Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2.

A estas funciones Yα(x) también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por Nα(x). Para α; no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie Jα(x) mediante la siguiente fórmula:

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite sólo válido para α no enteros:

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos α no enteros, la definición de Yα(x) es redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando α es entero, Yα(x) es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que:

Ambas Jα(x) y Yα(x) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado por el eje real negativo. Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.

Propiedades de las funciones de Bessel ordinarias

Integrales de Bessel

Otra definición de las funciones de Bessel para valores enteros de n es la siguiente representación integral de la función de Bessel:

Esta fue la forma con la que Bessel definió a estas funciones y de esta definición obtuvo distintas propiedades de la función. Otra representación integral es la siguiente:

Relación con las series hipergeométricas

Las funciones de Bessel se pueden expresar en función de las funciones hipergeométricas como:

Esta expresión está relacionada con la expresión de las funciones de Bessel en a partir de la función de Bessel-Clifford.

Funciones Trigonométricas

REFERENCIA RÁPIDA DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

 

INTRODUCCIÓN:

Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.

Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con B =60º, C=30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:

Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).

Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).

Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).

A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.

(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

En un triángulo rectángulo se define como Seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Se define como Coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Se define como Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA

Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:

Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.

En un triángulo rectángulo OPQ, la hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ).

Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
Cos²(a) + Sen²(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) Tan(a) = Sen(a)/Cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.

4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.